¡Imaginemos números! (Parte II)

El alumnado de 1º Bach nos deja la siguiente entrada sobre números complejos. Los estudiantes han trabajado en grupos, de manera responsable y colaborativa, intensificando el aprendizaje disciplinario. Los resultados de las tareas se desarrollaron para presentar este resultado final que publicaremos en siete partes. 

Curiosidades

Gauss

Carl Friedrich Gauss también conocido como el “Príncipe de las matemáticas” nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick, Alemania, y murió el 23 de febrero de 1855, en Göttingen, Alemania.

Es considerado uno de los tres genios de la historia de las matemáticas junto con Arquímedes y Newton.

Ha realizado aportaciones en todos los campos de las matemáticas: Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría y Análisis.

A lo largo de su vida demostró grandes habilidades en este campo, a los tres años aprendió a hacer cálculos aritméticos mentales con gran facilidad, a los doce criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece se interesó por las posibilidades de la geometría no euclidiana. A los quince, probó el binomio de Newton.

Todo esto llamó la atención del duque de Brunswick, quien decidió costear tanto su educación secundaria como universitaria. Se decidió por las matemáticas tras conseguir la construcción de un polígono regular de 17 lados con regla y compás, como se exigía en la Geometría desde Grecia a la edad de 19 años.

En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Göttinga con tan sólo veinticuatro años, pero a pesar de ello no se sentía del todo comprendido a excepción de matemáticos buenos, además tuvo una destacada participación en el nacimiento de la astrofísica.

Relación con la representación de los números complejos

Gauss fue el primero en realizar una representación de los números complejos estableciendo que estos no se podían dibujar en una recta, como los reales, si no que se debían representar en un plano que denominó plano complejo. De esta forma, la parte real se puede representar en el eje de abscisas, o eje real y la parte imaginaria en el eje de ordenadas, o eje imaginario.

Representación de los números reales

Los números reales se representan por medio de una recta que recibe el nombre de recta real.

Representación de los números complejos

A cada número complejo le corresponde un punto en un plano. Posee las coordenadas (a,b); a correspondiendo a la parte real y b a la imaginaria (a+bi).

Utilizando estos criterios cada número queda representado por un punto P cuyas coordenadas son (a, b). Dicho punto P recibe el nombre de afijo, de tal forma que a cada número complejo le corresponde un afijo, y a cada afijo un número complejo.

Características de los números complejos en forma binómica

La forma de un número complejo cualquiera a + bi tiene las siguientes características:

  • Si b = 0, el número complejo es básicamente el número real a.
  • Si a = 0, el número complejo posee sólo parte imaginaria y recibe el nombre de número imaginario puro. Se representan con un punto situado directamente sobre el eje de ordenadas.
  • Si a = 0 y b = 0, el número se denomina número complejo cero y al representarse su afijo se encuentra sobre el origen de coordenadas.

Anécdota de  Gauss cuando era niño

Una maestra de segundo grado de la escuela primaria, les planteó el siguiente problema al alumnado: «Calculen la suma de los primeros cien números». La idea era mantener a los alumnos callados durante un rato, pero un niño llamado Carl Friedrich Gauss levantó la mano justo después de que la profesora dijera el problema, respondió, maestra el resultado es 5.050.

La maestra se quedó desconcertada por la rapidez de Gauss al resolver el problema y le preguntó:

– ¿Ya lo habías hecho antes?

– No, lo acabo de hacer, respondió Gauss

Por lo que la maestra le pidió a Gauss que lo explicara en la pizarra para sus compañeros por lo que este comenzó a escribir los números:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +…+ 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Y Gauss explicó:

Lo que hice fue sumar el primero y el último número (o sea, el 1 y el 100). Esa suma da 101.

Después, seguí con el segundo y el penúltimo (el 2 y el 99). Esta suma vuelve a dar 101.

Luego, separé el tercero y el antepenúltimo (el 3 y el 98). Sumando estos dos, vuelve a dar 101.

De esta forma, «apareando» los números así y sumándolos, se tienen 50 pares de números cuya suma da 101. Luego, 50 veces 101 resulta en el número 5.050 que es lo que usted quería.

 

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler se utiliza para representar los números complejos en un sistema de coordenadas y permite definir el logaritmo para un número negativo, aquí os dejamos un esquema de donde obtuvo Euler la fórmula:

Curiosidades sobre Gauss

  • Gauss en 1833, inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros para comunicarse con su compañero Weber.

 

  • Quiso que en su tumba grabasen el polígono de 17 lados que él consiguió construir con regla y compás, pero el grabador dijo que parecería una circunferencia y no lo hizo.   
  • Su apodo era el príncipe de las matemáticas.
  • A los tres años fue capaz de corregir un fallo que su padre había hecho en el cálculo de los sueldos de unos albañiles.
  • Aprendió a leer por si mismo.
  • Fue una persona muy solitaria, sólo en una ocasión trabajó conjuntamente con otro científico, Weber.
  • A los 19 años empezó su famoso diario que contiene 146 anotaciones matemáticas. Dos de ellas todavía no se han descifrado.
  • Coleccionaba toda clase de estadísticas de los periódicos, libros, observaciones diarias, y utilizó algunos de estos datos en especulaciones financieras.
  • No confiaba en los médicos y por eso se trató a sí mismo de insomnio, molestias estomacales, congestión, bronquitis, callos, problemas respiratorios, palpitaciones y los problemas propios de edades avanzadas.
  • Su frase predilecta “Las matemáticas es la reina de las ciencias”