Las cajas de los Reales

¿Cómo surgieron los números?

En la antigüedad, el concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Para ello, al principio el hombre se valió de los elementos que tenía a su alrededor: dedos, piedras… Basta recordar que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus, que significa ‘contar con piedras’.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar.

 

¿El cero es un “número especial”?

Cuando empezamos a contar, ¿por qué número empezamos? Seguro que no por el cero.

Hoy en día puede parecernos algo normal, cotidiano y que usamos en una gran cantidad de elementos de nuestra vida. Sin embargo, el cero es uno de los números más especiales que existen.

 

El cero ¿es o no un número natural?

Este es uno de los temas más discutidos entre quienes se dedican a las matemáticas. Cuando Peano (matemático, lógico y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números) introdujo los axiomas para definir el conjunto de los números naturales, inició este conjunto por el número uno. Pero cuando Cantor (matemático alemán de origen ruso) estudió la teoría de conjuntos, encontró que debía empezar por el cero, dada la necesidad de asignarle un cardinal al conjunto vacío.

En las últimas décadas muchos profesores prefieran comenzar el conjunto de los números naturales por el cero, pues es necesario para el cardinal del conjunto vacío, para el neutro de la suma y para tantas otras aplicaciones.

 

¿Cómo se relacionan los diferentes conjuntos numéricos?

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos.

 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Los números naturales no permiten resolver todas las posibilidades operativas. Esta limitación llevó a la necesidad de crear otros conjuntos numéricos que atendieran este problema. La resta entre números naturales sólo es posible si el sustraendo es menor o igual al minuendo. Sin embargo, la práctica de trabajo exige un conjunto numérico donde la resta sea siempre posible. Así, se hizo necesario crear un nuevo conjunto numérico, que se llamó números enteros. Ellos comprenden a los enteros positivos, el cero (naturales) y los enteros negativos.

Z = {…,-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

La creación del conjunto de los números enteros permite la resta entre cualesquiera de ellos, pero no sucede lo mismo con la división. Por ejemplo, no hay ningún número entero que sea el resultado de 6 dividido 5. Este problema llevó a la creación del conjunto de los números racionales, en el que la división es siempre posible, con la única excepción del divisor cero. El conjunto de los números racionales comprende a los números enteros y a los fraccionarios positivos y negativos (Q).

La necesidad de los números reales se presenta cuando se intenta efectuar algunas operaciones como la radicación, que entre los racionales no tiene solución en todos los casos. Por ejemplo,  no existe en el conjunto de los números racionales raíz de dos, pues no existe ningún racional cuyo cuadrado valga 2. De modo que, estamos frente a una operación que carece de sentido en un conjunto numérico para ciertos valores de la variable. Así llegamos a los números irracionales (I): un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción – el decimal sigue para siempre sin repetirse.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales (R).

 

 

He fabricado el material mostrado para explicar estos contenidos porque considero que, mediante la manipulación de materiales, los alumnos adquieren conocimientos siendo ellos mismos los protagonistas y descubridores en el proceso de aprendizaje, consiguiendo que sea significativo.